이제 Theorem 2.23의 계(系, corollary)를 한 가지 익히자.

Corollary. Let $A \in \mathrm{M}_{n \times n} (F)$ , and let $\gamma$ be an ordered basis for $\mathrm{F}^n$ . Then $[\mathrm{L}_A]_\gamma = Q^{-1}AQ$ , where $Q$ is the $n \times n$ matrix whose $j$ th column is the $j$ th vector of $\gamma$ .

차근차근 이해해보자. 우선 $A$ 는 정방 행렬이다. 교재 2.3절에서 행렬이 곧 선형사상이라고 이미 배웠음을 가정한다. 행렬 $A$ 를 선형사상(left-multiplication transformation)으로 표현하면 $\mathrm{L}_A$ 이다. 그러면 $[\mathrm{L}_A]_\gamma$ 는 우리가 앞서 사용한 $[\mathrm{T}]_{\beta'}$ 를 대신하고, $A$ 는 $[\mathrm{T}]_\beta$ 를 대신한다.

이제 $Q$ 에 대해서 살펴보아야 하는데, 기억이 희미할 수 있지만 $Q$ 를 만드는 방식을 돌이켜보면 위 계의 마지막 부분을 이해할 수 있다. 교재 113쪽으로 봐도 된다. 아무튼 좌표 변환 행렬의 $j$ 번째 열은 좌표 변환 후 기저의 $j$ 번째 벡터다.

이로써 위 계는 Theorem 2.23를 자연스럽게 따른다. 이제 예제를 보면서 익혀보자.

Example 4

다음 행렬을 생각하자.

$\quad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

그리고 다음 기저를 생각하자.

$\quad \gamma = \Bigg\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\}$ .

이제 $Q$ 를 만들자. 당연하게도, $j$ 번째 열이 $\gamma$ 의 $j$ 번째 벡터다. 따라서

$\quad Q= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

위 계를 확인해야 하니 역행렬도 구하면(3x3 행렬의 역행렬 구하는 방법은 아주 쉬운데, 모르면 암기해야 한다.)

$\quad Q^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

이제 행렬 연산을 수행하면, $A$ 에 해당하는 선형사상을 $\gamma$ 로 표현할 수 있게 된다. 그 결과는 아래와 같다.

$\quad [\mathrm{L}_A]_\gamma = Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 8 \\ -1 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ .

위 행렬이 맞는지 검증할 방법은 없다. 위 선형사상이 입체도형을 공간에서 어떻게 움직이는지 시각화하면 검증할 수 있겠으나 이 글에선 어렵다.

아무튼, 기저(좌표축)만 바뀌었을 뿐 효과는 동일한 두 선형사상/행렬의 동치를 "similar하다"고 지칭한다.

이로써 2.5절이 끝났다.