멋진 걸 소개하겠다.

좌표 변환 행렬은 말 그대로 좌표를 변환해야 할 때 효과적이다.

아래 그림을 보자.

위 그림에는 $y=2x$ 를 기준으로 좌표를 반사하는 선형사상이 묘사되어 있다.

질문: 좌표 $(a,b)$ 가 주어졌을 때, 반사 후 좌표를 나타내는 식은 무엇인가?

정답: $\Big(\frac{1}{5} (4 b - 3 a), \frac{1}{5}(4a + 3 b)\Big)$ .

예를 들어 $(10, 10)$ 은 $(2, 14)$ 로 반사된다.

위 정답을 구하는 데 좌표 변환 행렬이 큰 힘을 발휘한다.

답을 찾는 과정을 따라가보자. 즉 위 '정답'이 왜 옳은지 증명해보자.

Example 3

우선 비틀어진 x, y축에서 기저를 구하자.

$\quad \beta' = \{ (1, 2), (-2,1) \}$

그리고 그림을 유심히 살펴 다음을 관찰하자.

$\quad \mathrm{T}(1,2) = (1,2)$

$\quad \mathrm{T}(-2,1) = (2,-1)$

이를 활용해 다음을 구할 수 있다. 구하는 방법은 세 번째 글에 쓰여 있다. 귀찮더라도 공책을 펴고 천천히 따라해보길.

$\quad [\mathrm{T}]_{\beta'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

이제 $Q$ 를 구하자. 기억이 안 나면 두 번째 글을 보면 된다.

$\quad Q= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

이제 우리는 Theorem 2.23의 힘을 빌려 $[\mathrm{T}]_\beta$ 를 구할 수 있다.

$\quad [\mathrm{T}]_{\beta} = Q[\mathrm{T}]_{\beta'}Q^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

Q. E. D.

위 증명 마지막 부분에서 행렬 구한 뒤 정답으로 어떻게 이어지는지 헷갈린다면 세 번째 글로 돌아가야 하고, 그래도 모르면 교재 80쪽 정의부터 다시 살펴야 한다.

풀어 쓰자면 행렬이 곧 선형사상의 표현인데, 기준이 되는 기저를 아래첨자로 위와 같이 표기하는 것이다.

2.5절이 끝나간다. 천천히 해보니 어렵지 않고 재밌다.