재밌는 퍼즐들을 우연히 발견하게 되어 고민 중이다. 각기 다른 출처에서 찾았는데, 해답을 찾기까지 꽤 오래 걸릴 것 같다.

가끔 심심할 때 골몰하기 딱 좋은 주제들이다. 이산 수학이나 확률론, 정수론을 이용해서 답을 구할 수 있을까? 아직 모르겠다.

2번과 3번은 영문으로 된 문제인데, 혹시나 독자들 중에 문제를 검색해보는 사람이 있을까 싶어 일부러 한글로 번역했다. 사실 검색해서 답을 알아내도 상관 없지만, 그러면 재미가 없으니까...ㅎㅎ

1. 모자 문제

수학자들이 n+1명 있고, 모자는 2n+1개 있다. 수학자들이 눈을 감고, 사회자가 모자를 씌운다. 수학자들은 타인의 모자 색만 볼 수 있고, 자기가 쓴 모자 색은 모른다. 수학자들은 자신이 답을 말할 준비가 됐는지만 말할 수 있고, 그 외에는 어떤 소통도 할 수 없다. 모두가 준비됐을 때, 동시에 자기가 쓴 모자를 추측해 답을 외쳐야 한다. 이 게임을 시작하기 전에 한 시간 동안 수학자들끼리 전략을 논의할 시간을 주었다. 그들은 '최소 한 명은 반드시 답을 맞힐 수 있다'고 결론을 내렸다. 전략이 무엇이었을까?

(2024-02-29: 이것도 답을 찾았습니다. 모자가 3개, 5개, 7개, 9개일 때 각각 먹히는 전략을 귀납적으로 발견했는데, 일반화하는 과정이 남아 있습니다.)

2. 도형 문제

종이 위에 정사각형이 그려져 있다. 그리고 투명 잉크로 점을 하나 찍었다. 우리는 이 종이 위에 선을 세 개 그을 수 있다. 선을 그을 때마다, 투명한 점이 선의 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지, 선 위에 있는지 답을 들을 수 있다. 이로써 우리는 점이 정사각형 안에 있는지, 밖에 있는지, 변에 있는지 알 수 있다. 어떻게 하면 알 수 있을까?

(2024-02-21: 이건 답을 찾았습니다.)

3. 확률 문제

동전을 던져서 앞면이 나오면 두 칸 전진, 뒷면이 나오면 한 칸 후진하는 게임을 한다고 해보자. 시작점은 0이다. 말이 양수에 놓이면 게임이 끝나는데, 1에 놓이면 승리이고, 이외에는 패배이다. 예를 들어 뒷면이 나왔다가 앞면이 나오면 1이 나오면서 게임이 끝날 테니 승리이고, 시작하자마자 앞면이 나오면 2가 나오면서 게임이 끝날 테니 패배이다. 이 게임의 승률은 몇일까?(힌트: Golden ratio가 등장한다.)