방정식 이론의 발전은 기하학적 도해와 개념의 사용으로부터 도움을 받았지만 아울러 그 때문에 큰 방해도 받았다.

제2부 4장 대수의 역사

내 생각: 어려운 내용을 이해하기 위해, 혹은 어려운 문제를 풀기 위해 어떤 개념을 차용하는 것은 흔한 기술이다.

예를 들어 로켓을 이해하기 위해 제트기를 시작점으로 해서 로켓 공부를 한다고 해보자.

둘은 유사하므로 분명 '제트기'라는 개념은 로켓 작동 원리 이해에 유용하다.

하지만 동시에 로켓을 어디까지나 '새로운 제트기'라고 생각하는 한계에 갇힐 수도 있다.

'제트기'라는 편리한 렌즈를 통해 로켓을 이해하려고 하면, 제트기와는 완전히 다른, 새로운 로켓을 떠올리기가 그만큼 어려워진다.

3000년 이상에 걸친 대수의 역사 가운데 기호 대수는 겨우 300년을 점하고 있지만 그 기간에 대수학은 크나큰 발전을 이룩하게 되었다. (중략) 대수적 조작과 기호는 동전의 양면으로 문자 변수는 대수적 조작과 불가분의 관계에 있다.

제2부 4장 대수의 역사

내 생각: 주어진 문제를 기호로 표현하는 것만으로 그 문제를 풀 수 있는 경로가 많아지고, 그 문제를 생각하는 방식이 확장한다.

특히 기호를 이용한 부호화는 유사하지만 별개로 다루던 다른 주제들도 함께 묶어 일반화하는 데 큰 도움을 준다.

유사한 영역 간 공통점, 유형을 추출하는 데 도움 준다는 뜻이다.

어려운 문제를 맞닥뜨렸을 때, 그것을 표현하는 방식을 바꿔보면 어떨까? 획기적인 도약을 이룰 수 있을지도.

(...) 이는 확실히 과학적 진보를 이루는 통상적인 과정의 한 예이다. 획기적인 발견은 그 탄생 시 일반적으로 논리에 의해 모든 면에서 뒷받침 되지는 않으며 직관적인 통찰이 탐색자를 어려운 문제를 풀어내도록 이끈다. 발견의 진실성이 확립되는 완전한 논리적 추론은 통상 후대에 이루어진다. 우리의 정신 발달 과정에서도 흔히 이유를 완전히 파악하지 않고 먼저 사실에 도달한다. 어린 정신이 처음부터 논리적 이유를 모두 파악하도록 노력하는 것이 항상 최선은 아니다. 논리적 추론이 너무 난해하여 파악될 수 없는 경우에는 직관적인 관찰 결과를 수용하는 것이 바람직하다.

제2부 6장 기하의 역사