2.5절 이해가 어려워서 정리를 좀 해보자. 아래 내용은 번역서가 아닌 원서 기준으로 쓰여서 일부 용어가 번역서와 다를 수 있다.

아래 방정식을 $x,y-$좌표평면에 그리면 어떤 모양일까?

$\quad 2x^2 -4xy + 5y^2 = 1$

쉽게 알기 어렵다. 그러면 $x$ , $y$ 대신 다른 변수를 사용해보자.

$\quad x=\frac{2}{\sqrt{5}}x' - \frac{1}{\sqrt{5}}y'$

$\quad y=\frac{1}{\sqrt{5}}x' + \frac{2}{\sqrt{5}}y'$

참고로 위 수식에서, 적절한 계수는 누군가 미리 찾아놓은 것이다. (6.5절에서 배울 내용)

이제 우리가 본 방정식은 아래처럼 바뀐다.

$\quad (x')^2 + 6(y')^2 = 1$

이런 꼴의 방정식은 그래프로 그렸을 때 타원 모양이다. 식이 단순해지니 모양을 판단하기 쉽다.

우리가 방금 한 행동, 즉 변수를 교체하는 것은 좌표평면 관점에서 어떤 일이 벌어진 걸까?

생각해보자. 타원의 모양은 변한 적이 없다. 좌표평면 위에 그려진 타원은 그대로다. 애당초 우리가 타원을 갖고 있는 이유는 $x$ 와 $y$ 의 관계가 타원을 형성하는 관계이기 때문이다. 원도 그렇지 않은가? 중점에서 같은 거리만큼 떨어진 $(x, y)$ 좌표를 모아놓은 게 원인데, 그러한 $x, y$ 들은 특정한 관계를 띠며, 그 관계를 우리는 식으로 표현할 줄 안다. 아래처럼.

$\quad (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

우리가 가진 $x, y$ 는 아래 식으로 표현되는 타원 관계를 띤다.

$\quad 2x^2 -4xy + 5y^2 = 1$

한편 우리는 $x', y'$ 의 관계로도 똑같은 타원을 표현할 수 있다.

$\quad (x')^2 + 6(y')^2 = 1$

그러니 타원의 모양은 변한 적이 없다. 기준이 되는 축이 바뀌었을 뿐이다.

$\quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

위와 같은 변수 교체는 좌표평면의 축을 바꾼 것으로 이해할 수 있다.

축을 $x', y'$ 로 바꾸었더니 식이 단순해진 이유는 타원의 축과 정확히 일치하기 때문이다.

원래 타원 방정식은 타원의 축과 좌표평면 축이 일치하면 식이 단순해진다.

좌표평면은 벡터 공간이므로, 두 축을 기저 벡터로 생각할 수 있다.

그렇다면 이 2개의 벡터는 어떻게 표현할 수 있을까? 아래와 같은데, 설명이 뒤따른다.

$\quad \beta' = \Bigg\lbrace \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \Bigg\rbrace$

자 이제 설명해보자.

$x,y-$좌표계에서 기저는 다음과 같다.

$\quad \beta = \Bigg\lbrace \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rbrace$

$x$ 축으로 진행하는 벡터는 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 인 셈이다.

이제, 기존 좌표계 위 점 $P$ 는 항상 $(x, y)$ 값을 가질 것인데, 이를 $[P]_\beta = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 라고 쓴다.

이 점을 새로운 좌표계에서 표현하면 $[P]_{\beta'} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ 가 된다.

이렇게 좌표 축을 임의로 바꾸는 상황에서는 행렬이 등장하기 마련이다. 이를 좌표 변환 행렬이라고 한다.

우리는 다음을 알고 있다.

$\quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

이 글 맨 윗부분에 연립방정식이 있는데 그걸 행렬로 표현한 거다.

이 때 두 좌표축 쌍을 이어주는 가운데 행렬을

$\quad Q = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

라고 하자.

타원을 이루는 각각의 점들은 일종의 벡터다. 그 벡터를 자기 자신으로 이어주는 항등 사상 $\mathbf{I}$ 를 생각하자.

위 행렬은 $x', y'$ 로 표현한 어떤 벡터를 $x, y$ 로 표현하도록 바꾸어준다.

달리 말해 타원을 그대로 두면서 기준 축 즉 기저만 $\beta'$ 에서 $\beta$ 로 바꾸어준다.

따라서 다음이 성립한다.

$\quad Q = [\mathbf{I}]_{\beta'}^{\beta}$

항등 사상이 invertible하므로 행렬 $Q$ 도 invertible하다.

$Q$ 를 좌표 변환 행렬(change of coordinate matrix)라고 한다.

다음 글에서는 이 행렬에 관한 몇 가지 성질과 예제를 살펴본다.