이전 글에서 기저 두 개가 등장했다.

$\quad \beta = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

$\quad \beta' = \{x_1', x_2', \ldots, x_n'\}$

라고 하자.

그러면 아래 식이 성립하는데, 머릿속으로 그리기보단 손으로 직접 써보는 게 빠르다.

$\quad x_j' = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{Q_{ij}x_i}$

위 식은 다음을 의미한다.

행렬 $Q$ 의 1행 1열은 첫 번째 기저 벡터와 곱해질 것이고, 2행 1열은 두 번째 기저 벡터와 곱해질 것이고, 그렇게 연속할 것이다.

즉 $Q$ 의 1열은 $\beta$ 의 모든 기저 벡터와 곱해진다. 그 곱들을 모두 더하면 $\beta'$ 에서의 첫(1)번째 기저 벡터가 산출된다.

바로 위 문장은 중요한 함의를 띤다. 벡터 $v$ 가 기저 벡터들에 특정 계수가 곱해진 꼴의 합이면, 그 계수들이 곧 $v$ 의 좌표가 된다.

좀 복잡하게 느껴질 수 있지만 선형 독립, 선형 종속을 배웠다고 가정하고 그냥 넘어가겠다. 즉 아래와 같다.

$\quad Q\text{'s }j\text{th column} = [x_j']_\beta$

기실, 예제를 보면 쉽게 이해될 거다. 이론은 추상적이지만 예제는 구체적이다.

앞서

$\quad \beta' = \Bigg\lbrace \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \Bigg\rbrace$

그리고

$\quad \beta = \Bigg\lbrace \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rbrace$

이렇게 두 개의 기저를 확인했다.

그리고

$\quad Q = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

라는 것도 안다.

벡터가 두 개 뿐이라, $x_1$ 대신 $x$ , $x_2$ 대신 $y$ 라고 두고 실제로 종이에 써보면 알 수 있다.

교재에 나와 있는 예제를 하나씩 살펴보자.

Example 1

$\quad \beta = \{ (1,1), (1,-1) \}$

$\quad \beta' = \{ (2,4), (3,1) \}$

예제에서 다음이 주어졌다. 주어진 이유는 행렬 $Q$ 를 쉽게 구하라는 취지 때문이다. 아래 식은 $\beta'$ 에서의 첫(1)번째 기저 벡터 $(2,4)$ 가 $\beta$ 의 기저 벡터들 각각에 3 및 -1을 곱해서 구해진다는 것을 보여준다.

$\quad (2,4)=3(1,1)-1(1,-1)$

따라서 행렬 $Q$ 의 1행 1열에는 3이 들어가야 하고, 2행 1열에는 -1이 들어가야 할 것이다.

$\quad Q = \begin{pmatrix} 3 & ? \\ -1 & ? \end{pmatrix}$

예제에서 다음 또한 주어진다.

$\quad (3,1) = 2(1,1)+1(1,-1)$

따라서

$\quad Q = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

여기서 아까 좀 복잡한 것처럼 보였던 것을 상기하자.

$\quad Q\text{'s }j\text{th column} = [x_j']_\beta$

$Q$ 의 첫 번째 열은 $x_1' = (2,4)$ 를 기저 $\beta$ 의 벡터들로 표현한 것이다.

좌표 변환 행렬은 다음 측면에서 좀 헷갈리지만 재밌다.

이 행렬을 구할 때는 좌변에 $\beta'$ 의 기저 벡터들을 놓고 우변에서 이 벡터를 $\beta$ 의 기저 벡터들에 상수 계수를 곱해 표현한다.

그리고 이 상수 계수들이 $Q$ 를 구성한다.

그런데 이 행렬의 역할은 반대 방향이다. 즉 $\beta'$ 기준으로 표시한 좌표에 이 행렬을 좌곱하면 $\beta$ 기준 좌표가 나온다.

이제 linear operator의 뜻을 알아본 후 중요한 정리를 한 가지 익히도록 하자.