선형사상은 임의의 벡터 공간들을 연결한다.

예를 들어 $\mathrm{T}: \mathrm{V} \to \mathrm{W}$ 는 벡터 공간 $\mathrm{V}$ 의 벡터를 $\mathrm{W}$ 의 벡터와 연결한다.

편의상 지금부터는 $\mathrm{T}: \mathrm{V} \to \mathrm{V}$ , 즉 같은 벡터 공간 내에서 원소들을 연결하는 선형사상만 다루자.

이런 선형사상을 linear operator라고 한다.

예를 들어 좌표평면에 올려놓은 사각형을 회전시키는 선형사상이 있다고 해보자. 이 사상은 $\mathbf{R}^2$ 위의 도형을 다른 벡터 공간으로 보내지 않고, 여전히 같은 벡터 공간 $\mathbf{R}^2$ 에 유지한다. 따라서 이 선형사상은 linear operator이다.

용어를 소개했으니 이제 중요한 정리 하나를 익히자.

Theorem 2.23. Let $\mathrm{T}$ be a linear operator on a finite-dimentional vector space $\mathrm{V}$ , and let $\beta$ and $\beta'$ be ordered bases for $\mathrm{V}$ . Suppose that $Q$ is the change of coordinate matrix that changes $\beta'-$coordinates into $\beta-$coordinates. Then

$\quad [\mathrm{T}]_{\beta'} = Q^{-1}[\mathrm{T}]_\beta Q$

증명은 필요가 없는데, 그보다 중요한 건 표기법이다. 교재에서는 2.2절에 미리 설명한 내용이다. 알아보자.

$[\mathrm{T}]_\beta$ 는 어떤 행렬을 표기한 것이다. 어떤 행렬일까?

선형사상을 표현한 행렬이다. 선형사상은 행렬로 표현된다. 선형사상을 표현할 수 있음은 행렬의 아주 중요하고 강력한 힘이다.

어떤 선형사상 $\mathrm{T}: \mathrm{V} \to \mathrm{W}$ 를 생각하자.

그리고 $\mathrm{V}$ 의 기저는 $\beta$ 이고, $\mathrm{W}$ 의 기저는 $\beta'$ 라고 하자.

이제 $\beta$ 에 속한 각 기저 벡터들을 $\mathrm{T}$ 에 넣고 돌리면(즉, 이 선형사상이 각각의 기저 벡터를 어디로 보내는지 확인하면) 어떻게 될까?

당연하게도, 치역 $\mathrm{W}$ 에 존재하는 어떤 벡터가 될 것이다. 그리고 이 벡터는 $\beta'$ 의 기저 벡터들과 임의의 상수를 곱한 값의 합으로 표현된다.

그러면 식으로서는 아래와 같이 쓸 수 있다.

$\quad \mathrm{T}(v_j) = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} {c_{i}w_i} \quad (w_i \in \beta')$ .

사실 이 식은 엄밀하게는 잘못 썼다. 왜냐하면, $j=1$ 일 때 즉 $v_1$ 이라는 기저 벡터를 표현할 때와 $j=2$ 일 때 즉 $v_2$ 라는 기저 벡터를 표현할 때는 $c_i$ 자리에 들어가는 상수가 다를 것이기 때문이다. 따라서 $c_i$ 말고 $c_{ij}$ 라고 써야 한다. 옳게 쓰면 다음과 같다.

$\quad \mathrm{T}(v_j) = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} {a_{ij}w_i} \quad (w_i \in \beta',\, \text{for }j=1,2,\ldots,n)$ .

그러면 우리는 이제 상수 계수 $a_{ij}$ 를 $i \times j$ 개수만큼 갖게 되었다. 이 계수들을 사각형으로 잘 나열하면 행렬 $[\mathrm{T}]_\beta^{\beta'}$ 가 된다.

사실, $i$ 행 $j$ 열 자리에 $a_{ij}$ 를 놓으면 행렬이 완성된다.

요지는 이거다. "위에 설명한 방법으로 행렬을 완성해두자. 그러면 그 행렬이 곧 선형사상 $\mathrm{T}$ 를 표현한다.

이제 중요한 표기법을 익혔으니 Theorem 2.23으로 돌아가자.