Theorem 2.23의 요지는 이런 거다.

벡터 공간 $\mathrm{V}$ 에서 같은 벡터 공간으로 보내는 선형 사상 $\mathrm{T}$ 을 생각하자.

앞 글에서 배운 방식에 따라, 이 $\mathrm{T}$ 를 행렬로 표현하자. 근데 두 가지 방식으로 표현하자.

한 번은 기저를 $\beta$ 라고 치고, 또 한 번은 $\beta'$ 라고 하자. 그러면 서로 다른 행렬 두 개가 아래와 같이 나온다.

$\quad [\mathrm{T}]_\beta, [\mathrm{T}]_\beta'$ .

이 둘 간의 관계가 아래와 같다는 게 Theorem 2.23이 가리키는 바이다.

$\quad [\mathrm{T}]_\beta' = Q^{-1}[\mathrm{T}]_\beta Q$ .

정말 그러한지 예제를 살펴보자.

Example 2

$\quad \mathrm{T} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a-b \\ a+3b \end{pmatrix}$

라고 하자.

이 선형사상을 행렬로 나타내면 어떻게 될까?

윗글에서 배운 대로 하면 된다. 먼저 기준이 될 기저를 골라야 하는데, 둘째 글에서 살펴본 example 1을 재활용해 $\beta = \{(1,1),(1,-1)\}$ 로 하자는 게 교재의 제안이다.

이 제안대로 했을 때의 행렬은 교재에서 다음과 같이 주어졌다.

$\quad [\mathrm{T}]_\beta = \begin{pmatrix} 3&1 \\ -1&3 \end{pmatrix}$ .

왜 이렇게 되는지 이해 못했다면 윗글을 다시 읽어보면서 공책에 써보아야 한다.

이제 둘째 글 example 1에서 구한 $Q$ 를 소환하고, 아래를 구하자. (계산은 생략)

$\quad Q^{-1}[\mathrm{T}]_\beta Q = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Theorem 2.23에 따르면 이 행렬이 바로 $[\mathrm{T}]_\beta'$ 이다. 이 또한 윗글에서와 같은 방식으로 계산해보면 일치함을 확인할 수 있다.

즉 Example 2가 보인 것은 Theorem 2.23이 신기하게도 실제로 참이란 것이다.

다음 글에서 좀 더 실용적인(?) 사례를 예제로서 다뤄보자.